Question

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N；
（I）設直線AP、BP的斜率分別為k₁，k₂求證：k₁•k₂為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓方程求出兩個頂點A，B的坐標，設出P點坐標，寫出直線AP、BP的斜率k₁，k₂，結合P的坐標適合橢圓方程可證結論；
（Ⅱ）分別求出M和N點的坐標，由（Ⅰ）中的結論得到兩直線斜率間的關系，把|MN|用含有一個字母的代數式表示，然后利用基本不等式求最值；
（Ⅲ）設出以MN為直徑的圓上的動點Q的坐標，由列式得到圓的方程，化為圓系方程后聯立方程組可求解圓所過定點的坐標．
解答：（Ⅰ）證明：由題設橢圓C：=1可知，點A（0，1），B（0，-1）．
令P（x，y），則由題設可知x≠0．
∴直線AP的斜率，PB的斜率為．
又點P在橢圓上，所以，從而有=；
（Ⅱ）解：由題設可得直線AP的方程為y-1=k₁（x-0），
直線PB的方程為y-（-1）=k₂（x-0）．
由，解得；
由，解得．
∴直線AP與直線l的交點N（），直線PB與直線l的交點M（）．
∴|MN|=||，又．
∴|MN|=||=．
等號成立的條件是，即．
故線段MN長的最小值為．
（Ⅲ）解：以MN為直徑的圓恒過定點或．
事實上，設點Q（x，y）是以MN為直徑圓上的任意一點，則，
故有．
又．所以以MN為直徑圓的方程為．
令，解得或．
所以以MN為直徑的圓恒過定點或．
點評：本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圓系方程，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．