Question

【題目】已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，且f(x)的圖象關于x＝1對稱，當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1.

(1)當x∈[1,2]時，求f(x)的解析式；

(2)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)的值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝22－x－1，x∈[1,2]；（2）1.

【解析】試題分析：(1) ;(2) 有對稱性和奇偶性可得

所求.

試題解析：

(1)當x∈[1,2]時，2－x∈[0,1]，

又f(x)的圖象關于x＝1對稱，

則f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．

(2)∵函數f(x)為奇函數，則f(－x)＝－f(x)，

又函數f(x)的圖象關于x＝1對稱，

則f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，

所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，

所以f(x)是以4為周期的周期函數．

∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，

又f(x)是以4為周期的周期函數．

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)＝504×(0＋1＋0－1)＋f(0)＋f(1)＝1.