Question

【題目】已知圓，點是直線上的一動點，過點作圓的切線，切點為．

（1）當切線的長度為時，求點的坐標；

（2）若的外接圓為圓，試問：當在直線上運動時，圓是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由．

（3）求線段長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）或（2）圓過定點（3）

【解析】

試題分析：（1）根據圓M的標準方程即可求出半徑r=2和圓心M坐標（0，4），并可設P（2b，b），從而由條件便可求出|MP|=＝4，這樣便可求出b的值，即得出點P的坐標；（2）容易求出圓N的圓心坐標（b，），及半徑，從而可得出圓N的標準方程，化簡后可得到（2x+y-4）b-（x2+y2-4y）=0，從而可建立關于x，y的方程，解出x，y，便可得出圓N所過的定點坐標；（3）可寫出圓N和圓M的一般方程，聯立這兩個一般方程即可求出相交弦AB的直線方程，進而求出圓心M到直線AB的距離，從而求出弦長，顯然可看出時，AB取最小值，并求出該最小值

試題解析：（1）由題意知，圓的半徑，設，

∵是圓的一條切線，∴，

∴，解得，

∴或． ………………………4分

(2)設，∵，

∴經過三點的圓以為直徑，

其方程為， ……………………6分

即，

由， ………………………8分

解得或，

∴圓過定點， ………………………10分

（3）因為圓方程為，

即，

圓，即，

②-①得：圓方程與圓相交弦所在直線方程為：

， ………………………12分

點到直線的距離，

，…………14分

當時，有最小值． ………………………16分