Question

小正方形按照圖中的規律排列，每個圖形中的小正方形的個數構成數列{a_n}有以下結論，

（1）a₅=15   
（2）{a_n}是一個等差數列； 
（3）數列{a_n}是一個等比數列；   
（4）數列{a_n}的遞推公式a_n+1=a_n+n+1（n∈N^*）
其中正確的是（　　）

A．（1）（2）（4）

B．（1）（3）（4）

C．（1）（2）

D．（1）（4）

Answer 1

分析：根據題意，結合等差數列的求和公式算出a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，由此再對各個選項加以判斷，可得（1）和（4）是真命題，而（2）（3）是假命題．

解答：解：根據題意，可得
a₁=1，a₂=3=1+2，a₃=6=1+2+3，a₄=10=1+2+3+4，…
發現規律：a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
由此可得
a₅=

5(5+1)

2

=15，故（1）正確；{a_n}不是一個等差數列，故（2）不正確；
數列{a_n}不是一個等比數列，可得（3）不正確；
而a_n+1-a_n=

(n+1)(n+2)

2

-

n(n+1)

2

=

n+1

2

[（n+2）-n]=n+1
故a_n+1=a_n+n+1成立，故（4）正確
綜上所述，正確命題為（1）（4）
故選：D

點評：本題給出圖形的特殊排列，叫我們依此判斷命題的真假．著重考查了等差數列的通項與求和公式、數列遞推式的推導等知識，屬于中檔題．