Question

可以證明，對任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設由三項組成的數列a₁，a₂，a₃每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有滿足條件的數列；
（2）設數列{a_n}每項均非零，且對任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，數列{a_n}的前n項和為S_n．求證：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數列{a_n}，使得a₂₀₁₁=2009？若存在，寫出一個這樣的無窮數列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）取n=1，有a₁²=a₁³，又a₁≠0，所以a₁=1．
取n=2，有（1+a₂）²=1+a₂³，于是a₂（a₂-2）（a₂+1）=0，又a₂≠0，所以a₂=-1或2．
取n=3，有（1+a₂+a₃）²=1+a₂³+a₃³，
當a₂=-1時，a₃²=a₃³，又a₃≠0，所以a₃=1．
當a₂=2時，（1+2+a₃）²=1+2³+a₃³，整理得a₃（a₃-3）（a₃+2）=0，所以a₃=3或-2．
綜上，說有滿足條件的數列為1，-1，1，或1，2，3，或1，2，-2．
（2）由已知，S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，用n+1替換n，得到（S_n-a_n+1）²=a₁³+…+a_n+1³，兩式相減，
有a_n+1³-（S_n-a_n+1）²-S_n²=（2S_n-a_n+1）a_n+1，因a_n+1≠0，所以a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N⁺
（3）存在，1，-1，1，2，3，…，2008，2009，2010，…是一個滿足條件的無窮數列．
分析：（1）取n=1，求出首項a₁的值，取n=2，求出a₂的值，取n=3，可求出a₃的值，從而求出所求；
（2）由已知，S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，用n+1替換n，得到（S_n-a_n+1）²=a₁³+…+a_n+1³，兩式相減，可證得結論；
（3）滿足（2）中條件的數列遞推式為a_n+1=a_n+1或-a_n．所以符合a₂₀₁₁=2009的數列的前2011項為1，2，…，k-1，k-k，k，k-1，…，2009，之后的項只需滿足遞推式即可．但要注意不能出現值為0的項．
點評：本題主要考查了數列的應用，同時考查了數列的求和，同時考查了推理能力，屬于中檔題．