Question

（2012•姜堰市模擬）可以證明，對任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設由三項組成的數列a₁，a₂，a₃每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有滿足條件的數列；
（2）設數列{a_n}每項均非零，且對任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，數列{a_n}的前n項和為S_n．求證：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數列{a_n}，使得a₂₀₁₂=-2011？若存在，寫出一個這樣的無窮數列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³，分別取n=1，2，3代入求解即可；
（2）由已知當n≥2時，a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，a₁³+a₂³+…+a_n-1³=S_n-1²，兩式相減，化簡可證；
（3）存在，an=

n，1≤n≤2011 (-1)n+1•2011，n≥2012

是一個滿足條件的無窮數列．

解答：解：（1）取n=1有a₁²=a₁³，又a₁≠0，∴a₁=1
取n=2，有（1+a₂）²=1+a₂³，∴a₂=-1或2
當a₂=-1時，同理得a₃=1；
當a₂=2時，同理得a₃=3或-2
綜上知，所有滿足條件思維數列為1，-1，1；1，2，3；1，2，-2．
（2）由已知當n≥2時，a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，
a₁³+a₂³+…+a_n-1³=S_n-1²，
兩式相減知：a_n³=S_n²-S_n-1²=a_n（2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n），
∵a_n＞0
∴a_n²=2a₁+2a₂+…+2a_n-1+2a_n-a_n
∴a_n²=2S_n-a_n
∴a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）存在，an=

n，1≤n≤2011 (-1)n+1•2011，n≥2012

是一個滿足條件的無窮數列．

點評：本題以已知命題為前提，嘗試推廣新命題，考查賦值法．在解答的過程當中充分體現了數列通項與前n項和的知識．