Question

【題目】已知橢圓具有如下性質：若、是橢圓上關于原點對稱的兩個點，點是橢圓上的任意一點，當直線、的斜率都存在，并記為、時，則與之積是與點位置無關的定值．試寫出雙曲線具有的類似的性質，并加以證明．

Answer 1

【答案】若M、N是雙曲線：＝1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．

【解析】

類似的性質為：若M、N是雙曲線：＝1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．證明如下：

設點M的坐標為(m，n)，則點N的坐標為(－m，－n)，其中＝1.

又設點P的坐標為(x，y)，由kPM＝，kPN＝，得kPM·kPN＝·＝，

將y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得kPM·kPN＝.