Question

(本題滿分14分) 已知F₁、F₂是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內的一點，點B也在橢圓上，且滿足（是坐標原點），,若橢圓的離心率等于.   
(Ⅰ)求直線AB的方程；
(Ⅱ)若三角形ABF₂的面積等于4，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，橢圓上是否存在點M，使得三角形MAB的面積等于8.

Answer 1

(Ⅰ)
(Ⅱ)
（Ⅲ）橢圓上不存在點M使得三角形MAB的面積等于

本試題主要是考查了直線方程的求解，以及橢圓方程的求解和三角形面頰的綜合運用。
（1）根據已知的向量關系，直線過原點，并且向量的垂直關系可以得到點A的坐標，然后將點A的坐標代入橢圓方程中可知得到直線的方程。
（2）連結AF₁、BF₁、AF₂、BF₂，由橢圓的對稱性可知，參數a,bc的關系式，進而得到橢圓的方程。
（3）由于由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|
假設在橢圓上存在點M使得三角形MAB的面積等于8
設點M到直線AB的距離為d,則應有
利用三角形的面積公式得到。
解：(Ⅰ)由知，直線AB經過原點，又由知，因為橢圓的離心率等于……2分
設A（），由知
∴A（）,代入橢圓方程得   ∴A（），故直線AB的斜率
因此直線AB的方程為……………4分
(Ⅱ)連結AF₁、BF₁、AF₂、BF₂，由橢圓的對稱性可知
，所以……………6分
又由解得  故橢圓方程為……………8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|=2……………9分
假設在橢圓上存在點M使得三角形MAB的面積等于8
設點M到直線AB的距離為,則應有
∴……………10分
與AB平行且距離為4的直線為
消去x得      ……………13分
此方程無解故橢圓上不存在點M使得三角形MAB的面積等于……………14分
另解：設點P（4）為橢圓上任意一點
則P到直線的距離為
……………13分
故橢圓上不存在點M使得三角形MAB的面積等于……………14分