Question

橢圓：的右焦點與拋物線的焦點重合，過作與軸垂直的直線與橢圓交于兩點，與拋物線交于兩點，且。
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點的直線與橢圓相交于兩點，設為橢圓上一點，且滿足
為坐標原點），當時，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

(1)  (2)

試題分析：（1）設橢圓的半長軸、半短軸、半焦距為，則，且，
，又，
，
——————————————————————————————6分
（2）由題，直線斜率存在，設直線： ，聯(lián)立，消得：
，由，得  ①————————8分
設，由韋達定理得，
，
則
或（舍）②
由①②得：——————————————————————————11分
則的中點
，得代入橢圓方程得：
，即
，，即————————15分
點評：根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)求解橢圓的方程，同時能聯(lián)立方程組來得到交點坐標的關系，結(jié)合韋達定理來分析求解，屬于中檔題。