Question

設f（x），g（x）是定義域為R的恒大于零的可導函數，且f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，則當a＜x＜b時，下列結論中正確的是（　　）

A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）

B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）

C．f（x）g（b）＞f（b）g（x）

D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）

Answer 1

分析：構造函數F（x）=

f(x)

g(x)

，求導可判函數F（x）為R上單調遞減的函數，結合a＜x＜b可得

f(a)

g(a)

＞

f(x)

g(x)

＞

f(b)

g(b)

，由題意結合選項分析，可得答案．

解答：解：由題意構造函數F（x）=

f(x)

g(x)

則其導函數F′（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

[g(x)]2

＜0，
故函數F（x）為R上單調遞減的函數，
∵a＜x＜b，∴F（a）＞F（x）＞F（b），
即

f(a)

g(a)

＞

f(x)

g(x)

＞

f(b)

g(b)

，
又f（x），g（x）是定義域為R的恒大于零的可導函數，
對式子的后半部分兩邊同乘以g（b）g（x）可得f（x）g（b）＞f（b）g（x）．
故選C

點評：本題考查構造函數證明不等式，涉及商的導數，屬基礎題．