Question

【題目】已知橢圓的一個焦點 ，兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過焦點作 軸的垂線交橢圓上半部分于點，過點作橢圓的弦，設弦 所在的直線分別交軸于、兩點，若為等腰三角形時，問直線的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線斜率為定值，該定值為.

【解析】

（1）根據題意，分析可得的值，進而分析可得，由橢圓的幾何性質分析可得的值，代入橢圓的方程即可得答案；

（2）根據題意，設出直線方程，設，，將直線的方程與橢圓聯立，分析可得，由根與系數的關系分析可得答案．

（1）由題意可知橢圓的半焦距，由兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形得 ，又，解得 ，

所以橢圓的標準方程為．

（2）易知.因為直線的傾斜角互補，所以直線的斜率與的斜率互為相反數．

可設直線的方程為，代入，消去得 ．

設， ，

所以，可得，，

又直線的斜率與的斜率互為相反數，

所以在上式中以代替，可得，，

所以直線的斜率，

即直線斜率為定值，該定值為．