Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）當時，證明：函數有兩個零點；

（Ⅲ）若函數有兩個不同的極值點，記作，且，證明（為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求得函數的導數，分類討論，即可求解函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知函數在上單調遞減，在上單調遞增，求得函數的最小值，記，利用導數求得函數的單調性與最值，利用零點的存在定理，即可求解；

（Ⅲ）求得，得到，把欲證轉化為證，進而得到，設，等價于，令，利用導數求得函數的單調性，即可求解．

（Ⅰ）的定義域為，

由，可得，

當時，，函數在上單調遞增；

當時，，即時，函數單調遞增；

當時，即時，函數單調遞減.

綜上，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以.取，

記，所以在上單調遞減. .所以當，

，所以函數在上存在一個零點.當時，，，所以函數在上存在一個零點.所以，當時，函數有兩個零點.

（Ⅲ）依題意得，，則，

因為有兩個極值點，所以，

欲證等價于證，即，所以，

因為，所以原不等式等價于①，

由可得，則②，

由①②可知，原不等式等價于，即，

設，則上式等價于時，，

令，則，

因為，所以，所以在區間上單調遞增，

所以當時，，即，

所以原不等式成立，即.