Question

將函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），令的極值點(diǎn)，判斷出全部極值點(diǎn)按從小到大排列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（2）利用b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求出b_n+1作商，利用等比數(shù)列的定義判斷出{b_n}是以為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，進(jìn)一步求出數(shù)列{a_n•b_n}的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求出前n項(xiàng)的和．
解答：解：（1）∵ 
=．
令
解得，
所以f（x）的極值點(diǎn)為，
從而它在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大排列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴．
（2）由知對(duì)任意正整數(shù)n，a_n都不是π的整數(shù)倍，
所以sina_n≠0，
從而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0，
于是，，
∴{b_n}是以為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，
∴．
∴，
•（-1）^n-1）
所以+•（2n-1）（-1）ⁿ）
兩式相減得，
數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和為．
點(diǎn)評(píng)：求一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法應(yīng)該先求出數(shù)列的通項(xiàng)，然后按照通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．