Question

將函數在區間（0，+∞）內的全部極值點按從小到大的順序排成數列{a_n}，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2，求證：，（n=1，2，3，…）．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
=
∴f（x）的極值點為，
從而它在區間（0，+∞）內的全部極值點按從小到大排列構成以為首項，為公差的等差數列，
∴，（n=1，2，3，…）
（Ⅱ）由知對任意正整數n，
a_n都不是π的整數倍，
所以sina_n≠0，
從而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0
于是
又，
{b_n}是以為首項，-1為公比的等比數列．
∴，（n=1，2，3，…）
分析：（Ⅰ）由=-，知f（x）的極值點為，從而它在區間（0，+∞）內的全部極值點按從小到大排列構成以為首項，為公差的等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由知對任意正整數n，a_n都不是π的整數倍，知sina_n≠0，從而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0．于是，由此能夠證明，（n=1，2，3，…）．
點評：第（Ⅰ）題考查數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意三角函數的性質和應用，合理運用三角函數的極值點進行解題．
第（Ⅱ）求證：，（n=1，2，3，…）．解題時要認真審題，利用三角函數的性質證明{b_n}是以為首項，-1為公比的等比數列．