Question

【題目】已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x﹣y﹣2=0的距離為 ，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當點P（x0 ， y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；
（3）當點P在直線l上移動時，求|AF||BF|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x﹣y﹣2=0的距離 ，解得c=1，

所以拋物線C的方程為x2=4y．

（2）解：設 ， ，

由（1）得拋物線C的方程為 ， ，所以切線PA，PB的斜率分別為 ， ，

所以PA： ①PB： ②

聯立①②可得點P的坐標為 ，即 ， ，

又因為切線PA的斜率為 ，整理得 ，

直線AB的斜率 ，

所以直線AB的方程為 ，

整理得 ，即 ，

因為點P（x0，y0）為直線l：x﹣y﹣2=0上的點，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，

所以直線AB的方程為x0x﹣2y﹣2y0=0．

（3）解：根據拋物線的定義，有 ， ，

所以 = ，

由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，

所以 = ．

所以當 時，|AF||BF|的最小值為

【解析】（1）利用焦點到直線l：x﹣y﹣2=0的距離建立關于變量c的方程，即可解得c，從而得出拋物線C的方程；（2）先設 ， ，由（1）得到拋物線C的方程求導數，得到切線PA，PB的斜率，最后利用直線AB的斜率的不同表示形式，即可得出直線AB的方程；（3）根據拋物線的定義，有 ， ，從而表示出|AF||BF|，再由（2）得x1+x2=2x0 ， x1x2=4y0 ， x0=y0+2，將它表示成關于y0的二次函數的形式，從而即可求出|AF||BF|的最小值．