Question

【題目】已知點在橢圓:（）上，且點到左焦點的距離為3.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點關于坐標原點的對稱點為，又兩點在橢圓上，且，求凸四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意點到左焦點的距離為3，結合兩點間距離公式可求得的值，將點代入橢圓，根據橢圓中的關系式即可求得，進而得橢圓的標準方程.

（2）由可設直線的方程為，聯立橢圓方程，整理變形根據兩個交點可令求得的范圍.設，由韋達定理表示出，，由弦長公式求得，點到直線距離公式求得到的距離，結合用表示出，令，可化簡為，再令，利用導函數求得的單調性和最值，即可求解.

（1）因為橢圓經過點，所以.

設左焦點（），

則由得，

解得.

又，于是，

解得（舍負），

進而.

故橢圓的標準方程為.

（2）因為，可設直線的方程為（），

聯立并整理得.

由，解得.

設，則，.

所以

.

又與之間的距離即到的距離，且.

所以四邊形的面積.

設，由可得，

則，

記之為函數，則，

易知在區間內單調遞增，在區間內單調遞減.

故的最大值為，此時，解得，符合題意，

所以四邊形面積的最大值為.