Question

設數列，，若以為系數的二次方程:都有根滿足.
（1）求證：為等比數列
（2）求.
（3）求的前項和.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：本題考查等差數列等比數列的通項公式、前n項和公式、數列求和等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力.第一問，利用根與系數關系，得到兩根之和、兩根之積，代入到中，得到和的關系式，再用配湊法，湊出一個新的等比數列；第二問，利用第一問的結論，先求出新數列的通項公式，再求；第三問，用分組求和的方法，分別是等比數列和等差數列，直接用前n項和公式求和即可.
試題解析：（1）∵都有根滿足，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴，而，
∴是以為首項，以為公比的等比數列.
（2）∵，∴.
（3）



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