Question

如圖，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等邊三角形，ABCD是矩形，AB：AD=：1，F是AB的中點．
（1）求VC與平面ABCD所成的角；
（2）求二面角V-FC-B的度數；
（3）當V到平面ABCD的距離是3時，求B到平面VFC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD的中點G，連接VG，CG．由△ADV為正三角形，知VG⊥AD．由平面VAD⊥平面ABCD．AD為交線，知VG⊥平面ABCD，則∠VCG為CV與平面ABCD所成的角．由此能求出VC與平面ABCD所成的角的大小．
（2）連接GF，則．而．在△GFC中，GC²=GF²+FC²．所以GF⊥FC．連接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，則∠VFG即為二面角V-FC-D的平面角．由此能求出二面角V-FC-B的度數．
（3）設B到平面VFC的距離為h，當V到平面ABCD的距離是3時，即VG=3．此時，，，．所以，．由V_V-FCB=V_B-VCF，能求出B到面VCF的距離．
解答：解：取AD的中點G，連接VG，CG．
（1）∵△ADV為正三角形，∴VG⊥AD．
又平面VAD⊥平面ABCD．AD為交線，
∴VG⊥平面ABCD，
則∠VCG為CV與平面ABCD所成的角．
設AD=a，則，．
在Rt△GDC中，．
在Rt△VGC中，．
∴∠VCG=30°．
即VC與平面ABCD成30°．
（2）連接GF，則．
而 ．
在△GFC中，GC²=GF²+FC²．
∴GF⊥FC．
連接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，
則∠VFG即為二面角V-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，．
∴∠VFG=45°．
故二面角V-FC-B的度數為135°．
（3）設B到平面VFC的距離為h，當V到平面ABCD的距離是3時，
即VG=3．
此時，，，．
∴，
．
∵V_V-FCB=V_B-VCF，
∴．
∴．
∴，即B到面VCF的距離為．
點評：本題考查直線與平面所成的角的求法，求二面角的度數求點到平面的距離．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，易出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．