Question

已知函數g(x)=x3+(

m

2

+2)x2-2x．
（1）若m=-3，求函數g（x）的單調區間；
（2）若對于任意t∈[1，2]，函數g（x）在區間（t，3）上總不為單調函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當m=-3時，g'（x）=3x²+x-2=（x+1）（3x-2），由此能求出函數g（x）的單調區間．
（2）g'（x）=3x²+（m+4）x-2，由g′（0）=-2，對于任意t∈[1，2]，函數g（x）在區間（t，3）上總不為單調函數，知

g′(t)＜0 g′(3)＞0

，由此能求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）當m=-3時，g'（x）=3x²+x-2=（x+1）（3x-2），
由g'（x）=（x+1）（3x-2）＞0，得x＜-1，或x＞

2

3

；
由g'（x）=（x+1）（3x-2）＜0，得-1＜x＜

2

3

，
∴增區間：(-∞，-1)，(

2

3

，+∞)，減區間：（-1，

2

3

）
（2）g'（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g′（0）=-2，對于任意t∈[1，2]，函數g（x）在區間（t，3）上總不為單調函數，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

，
∴

3t2+(m+4)t-2＜0 27+(m+4)•3-2＞0

，
∴

m+4＜ 2 t -3t m＞- 37 3

，
解得-

37

3

＜m＜-9，
∴實數m的取值范圍是{m|-

37

3

＜m＜-9}．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查等價轉化能力和運算能力，解題時要認真審題，仔細解答，注意不等式知識的合理運用．