Question

【題目】如圖，矩形中，，為的中點，現將與折起，使得平面及平面都與平面垂直.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（1）分別取中點，分別連接，可證明平面平面，可得，又，∴四邊形為平行四邊形，，從而可得平面；（2）以為原點，為，正半軸，建立空間直角坐標系，可得平面的一個法向量，利用向量垂直數量積為零列方程組求出平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結果.

詳解：（1）分別取中點，分別連接，則且

∵平面及平面都與平面垂直，

∴平面平面，

由線面垂直性質定理知，又，

∴四邊形為平行四邊形，

又平面，∴平面.

（2）如圖，以為原點，為，正半軸，建立空間直角坐標系，則.

平面的一個法向量，設平面的法向量，

則，取得

∴，

注意到此二面角為鈍角，

故二面角的余弦值為.