Question

如圖組合體由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁與正三棱錐B-ACD組成，其中，AB⊥BC．它的正視圖、俯視圖、從左向右的側視圖的面積分別為2

2

+1，2

2

+1，1．
（Ⅰ）求直線CA₁與平面ACD所成角的正弦；
（Ⅱ）在線段AC₁上是否存在點P，使B₁P⊥平面ACD．若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 根據正視圖、俯視圖、從左向右的側視圖的面積分別為2

2

+1，2

2

+1，1，從而可確定BA，BB₁的長．以點B為原點，分別以BC、BB₁、BA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出平面ACD的法向量，進而可利用夾角公式求出直線CA₁與平面ACD所成角的正弦；
（Ⅱ）假設存在

AP

=m

AC1

=(

2

m，2m，-

2

m)，利用

B1P

與平面ACD的法向量，得方程即可求解．

解答：解：（1）設BA=BC=BD=a，BB₁=b
由條件

ab+ 1 2 a2=2 2 +1 1 2 a2=1

⇒

a= 2 b=2

.(3分)
以點B為原點，分別以BC、BB₁、BA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則
A(0，0，

2

)，C(

2

，0，0)，D(0，-

2

，0)，B1(0，2，0)，C1(

2

，2，0)，A1(0，2，

2

)(5分)
∵△ACD的重心G(

2

3

，-

2

3

，

2

3

)∴

a

=

BG

=(

2

3

，-

2

3

，

2

3

)為平面ACD的法向量．(7分)
又

CA1

=(-

2

，2，

2

)，則cos?

a

，

CA1

＞=

- 2 2 3

2 2 • 6 3

=

6

6

(9分)
∴所求角的正弦值為

6

6

．(10分)
(2)令

AP

=m

AC1

=(

2

m，2m，-

2

m)(11分)

B1P

=

B1A

+

AP

=(

2

m，2m-2，

2

-

2

m)=λ

a

∴

2 m= 2 3 λ 2m-2=- 2 3 λ 2 - 2 m= 2 3 λ

∴無解(14分)
∴不存在滿足條件的點P．

點評：本題以組合體為載體，考查線面角，考查線面存在，關鍵是構建空間直角坐標系．