Question

如圖所示，放置在水平面上的組合體由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁與正三棱錐B-ACD組成，其中，AB⊥BC，AB=

2

，BB₁=2．
（1）求直線CA₁與平面ACD所成角的正弦值；
（2）在線段AC₁上是否存在點P，使B₁P⊥平面ACD？若存在，確定點P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）以點B為原點，分別以BC、BB₁、BA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出平面ACD的法向量，進而可利用夾角公式求出直線CA₁與平面ACD所成角的正弦；
（2）假設存在，令

AP

=m

AC1

=（

2

m，2m，-

2

m），利用

B1P

∥

n

，即可得到結論．

解答：解：（1）由題意，AB⊥平面BB₁C₁C，CD?平面BB₁C₁C，
∴D，B，B₁三點共線，
∵三棱錐是正三棱錐，
∴AB=BC=BD，
以點B為坐標原點，射線BC，BB₁，BA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，0，

2

），C（

2

，0，0），D（0，-

2

，0），B₁（0，2，0），C₁（

2

，2，0），A₁（0，2，

2

）
設直線CA₁與平面ACD所成角為θ
∵△ACD的重心G（

2

3

，-

2

3

，

2

3

），∴

BG

=（

2

3

，-

2

3

，

2

3

），
∴取

n

=（1，-1，1）為平面ACD的法向量
∵

CA1

=（-

2

，2，

2

），
∴取

m

=(1，-

2

，-1)為直線CA₁的方向向量
∴sinθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

m • n

| m || n |

=

2

2 3

=

6

6

；
（2）令

AP

=m

AC1

=（

2

m，2m，-

2

m），
則

B1P

=

B1A

+

AP

=(

2

m，2m-2，

2

-

2

m)
∵

B1P

∥

n

，∴

B1P

=λ

n

∴

2 m=λ① 2m-2=-λ② 2 - 2 m=λ③

，無解
∴不存在滿足條件的點P．

點評：本題以組合體為載體，考查線面角，考查線面垂直，關鍵是構建空間直角坐標系．