Question

【題目】（本小題滿分分）

如圖，平行四邊形中， ， ， ， 平面， ，點為中點，連結、．

（Ⅰ）若， ，求證：平面平面．

（Ⅱ）若，試探究在直線上有幾個點，使得，并說明理由．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】試題分析：（1）要證明平面平面，即證明平面，進而轉證線線垂直即可；（2）假設邊上存在使得，則連結，必有，故問題轉化為：在邊上是否存在點，使得．由平面幾何知識，問題又可轉化為：以為直徑的圓與有幾個交點．

試題解析：

（）證明：當， 時，

∵是平行四邊形， ， ， ， 是中點，

∴， ， ，

∴，

∴．

又∵平面， 平面，

∴．

∵，

∴平面．

又∵平面，

∴平面平面．

（）假設邊上存在使得，則連結，必有，故問題轉化為：在邊上是否存在點，使得．由平面幾何知識，問題又可轉化為：以為直徑的圓與有幾個交點．

∵， ，∴以為直徑的圓圓心到直線的距離，半徑為．

易知當時，以為直徑的圓與無交點，

當時，以為直徑的圓與有且只有一個交點，

當時，以為直徑的圓與有個交點．

故當時，直線上不存在點，使得．

當時，直線上存在一個點，使得．

當時，直線上存在個點，使得．