Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是R，對(duì)任意x∈R，f（x+2）-f（x）=0，當(dāng)x∈[-1，1）時(shí)，f（x）=x．關(guān)于函數(shù)f（x）給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的全部零點(diǎn)為x=2k，k∈Z；
④當(dāng)x∈[-3，3）時(shí)，函數(shù)g(x)=

1

x

的圖象與函數(shù)f（x）的圖象有且只有三個(gè)公共點(diǎn)．
其中全部真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①由題意得對(duì)任意x∈R，f（x+2）=f（x），所以f（x）是周期函數(shù)，且周期是2．所以f（1）=f（1-2）=f（-1），即f（-1）=f（1）．
②由①得f（x）是周期函數(shù)，且周期是2．故②正確．
③由題意得f（0）=0．因?yàn)椋▁）是周期函數(shù)，且周期是2，所以f（x）=0的全部解為x=2k．
④當(dāng)x∈[-1，1）時(shí)，解方程f（x）=g(x)=

1

x

得x=-1或x=1（舍去）．同理根據(jù)函數(shù)的周期求出函數(shù)在[1，3）與[-3，-1）時(shí)的解析式列方程求解可得答案．

解答：解：①因?yàn)閷?duì)任意x∈R，f（x+2）-f（x）=0，所以對(duì)任意x∈R，f（x+2）=f（x），所以f（x）是周期函數(shù)，且周期是2．
所以f（1）=f（1-2）=f（-1），即f（-1）=f（1），
所以函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)．故①錯(cuò)誤．
②由①得f（x）是周期函數(shù)，且周期是2．故②正確．
③因?yàn)楫?dāng)x∈[-1，1）時(shí)，f（x）=x，所以f（0）=0．又因?yàn)椋▁）是周期函數(shù)，且周期是2，所以函數(shù)f（x）的全部零點(diǎn)為x=2k．故③正確．
④x∈[-1，1）時(shí)，f（x）=x，令f（x）=g(x)=

1

x

解得x=-1或x=1（舍去）．當(dāng)x∈[1，3）時(shí)f（x）=x-2=g(x)=

1

x

解得x=1+

2

或x=1-

2

（舍去）．當(dāng)x∈[-3，-1）時(shí)，f（x）=x+2=g(x)=

1

x

解得x=-1-

2

或x=-1+

2

（舍去）．故④正確．
故答案為②③④．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是對(duì)于分段函數(shù)的奇偶性，周期性，單調(diào)性等性質(zhì)要熟練掌握，在高考中也是重點(diǎn)考查的范圍之一．