Question

某次國際象棋友誼賽在中國隊和烏克蘭隊之間舉行，比賽采用積分制，比賽規則規定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，根據以往戰況，每局中國隊贏的概率為

1

2

，烏克蘭隊贏的概率為

1

3

，且每局比賽輸贏互不影響．若中國隊第n局的得分記為a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）求S₃=4的概率；
（2）若規定：當其中一方的積分達到或超過4分時，比賽不再繼續，否則，繼續進行．設隨機變量ξ表示此次比賽共進行的局數，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）S₃=4，即前3局中國隊1勝2平或2勝1負，而每局中中國隊贏的概率為

1

2

，平的概率為

1

6

，輸的概率為

1

3

，且每局比賽輸贏互不影響，故可利用獨立重復試驗求解．
（2）ξ的可能取值為2，3，4，ξ=2表示兩局都是中國隊贏或都是烏克蘭隊贏；ξ=3可分中國隊贏時，中國隊三局中的得分情況分別為022，202，112，121，122，211，和212，烏克蘭隊贏時，烏克蘭隊得分情況同上邊的情況，分別求概率取和；ξ=4時，可利用分布列的性質求解，P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）

解答：解：（1）S₃=4，即前3局中國隊1勝2平或2勝1負．
中國隊贏的概率為

1

2

，平的概率為

1

6

，輸的概率為

1

3

．
得S₃=4的概率為

C

2 3

(

1

6

)2(

1

2

)+

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

3

=

1

24

+

1

4

=

7

24

（2）ξ的可能取值為2，3，4，
P(ξ=2)=(

1

2

)2+(

1

3

)2=

13

36

，
P(ξ=3)=

C

1 2

(

1

2

)(

1

3

)(

1

2

)+

C

1 2

(

1

2

)(

1

6

)(

1

2

)+

C

1 3

(

1

6

)2

1

2

+

C

1 2

(

1

3

)(

1

2

)(

1

3

)+

C

1 2

(

1

3

)(

1

6

)(

1

3

)+

C

1 3

(

1

6

)2

1

3

=

101

216

P(ξ=4)=(

1

6

)4+(

1

6

)3(

1

2

)+(

1

6

)3(

1

3

)+

A

3 3

(

1

6

)(

1

2

)(

1

3

)(

1

6

)+

A

3 3

(

1

6

)(

1

2

)(

1

3

)(

1

2

)+

A

3 3

(

1

6

)(

1

3

)(

1

2

)(

1

3

)=

37

216

或P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=

37

216

ξ的分布列為：

∴E(ξ)=2×

13

36

+3×

101

216

+4×

37

216

=

607

216

．（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、分布列的性質、期望、獨立重復試驗的概率等知識，以及利用概率知識分析問題、解決問題的能力．