Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，當n∈N^*時，有f（n）∈N^*，f[f（n）]=3n，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=

 

．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：結合題設條件，利用列舉法一一驗證，能夠求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，從而求得f（1）+f（2）+f（3）+f（4）的值．

解答： 解：若f（1）=1，則f（f（1））=f（1）=1，與條件f（f（n））=3n矛盾，故不成立．
若f（1）=3，則f（f（1））=f（3）=3，進而f（f（3））=f（3）=9，與前式矛盾，故不成立．
若f（1）=n（n＞3），則f（f（1））=f（n）=3，與f（x）單調遞增矛盾．
所以只剩f（1）=2．驗證之：f（f（1））=f（2）=3，
進而f（f（2））=f（3）=6，
進而f（f（3））=f（6）=9，
由函數的單調性，f（4）=7，f（5）=8，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+3+6+7=18，
故答案為：18．

點評：本題考查函數值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意列舉法的合理運用，屬于基礎題．