Question

下列四個命題：
①若0＞a＞b，則

1

a

＜

1

b

；
②x＞0，x+

1

x-1

的最小值為3；
③橢圓

x2

4

+

y2

3

=1比橢圓

x2

3

+

y2

2

=1更接近于圓；
④設A，B為平面內兩個定點，若有|PA|+|PB|=2，則動點P的軌跡是橢圓；
其中真命題的序號為

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：常規題型,不等式的解法及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程,簡易邏輯

分析：①利用不等式的性質可得，若0＞a＞b，則

1

a

＜

1

b

；
②注意基本不等式成立的條件，舉反例x=

1

2

時；
③求兩個橢圓的離心率，由離心率越小越接近于圓可知，橢圓

x2

4

+

y2

3

=1比橢圓

x2

3

+

y2

2

=1更接近于圓；
④由橢圓的定義可知，若|AB|=2，則動點P的軌跡是線段AB；

解答： 解：①∵0＞a＞b，
∴

1

ab

＞0，
不等式兩邊同乘

1

ab

可得，
∴

1

a

＜

1

b

；
②若x=

1

2

，則x+

1

x-1

=-

3

2

，故錯誤；
③∵橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的離心率e=

1

2

，橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的離心率e=

3

3

，
又∵

3

3

＞

1

2

，
∴橢圓

x2

4

+

y2

3

=1比橢圓

x2

3

+

y2

2

=1更接近于圓；
④若|AB|=2，則動點P的軌跡是線段AB；
故答案為：①③．

點評：本題考查了不等式的性質與基本不等式的應用，同時考查了橢圓的性質與定義及命題的真假性的判斷，屬于中檔題．