Question

（07年福建卷理）（本小題滿分14分）已知函數

（Ⅰ）若，試確定函數的單調區間；

（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數的取值范圍；

（Ⅲ）設函數，求證：．

 

Answer 1

本小題主要考查函數的單調性、極值、導數、不等式等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分類討論、化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．

解析：（Ⅰ）由得，所以．

       由得，故的單調遞增區間是，

       由得，故的單調遞減區間是．

       （Ⅱ）由可知是偶函數．

       于是對任意成立等價于對任意成立．

       由得．

       ①當時，．

       此時在上單調遞增．

       故，符合題意．

       ②當時，．

       當變化時的變化情況如下表：

	單調遞減	極小值	單調遞增

由此可得，在上，．

依題意，，又．

綜合①，②得，實數的取值范圍是．

（Ⅲ），

，

，

 

由此得，

故．