Question

已知直線l：

1

4

x+b（b≠0）與橢圓C：

x2

a2

+y2=1相交于A、B兩點，點P在橢圓C上但不在直線l上．
（1）若P點的坐標為（1，

3

2

），求b的取值范圍；
（2）是否存在這樣的點P，使得直線PA、PE的斜率之積為定值？若存在，求出P點坐標及定值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據P（1，

3

2

）是

x2

a2

+y2=1上的點，確定橢圓方程，將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用△＞0，點P不在直線l上，即可求得b的取值范圍；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①知，x₁+x₂=-

8b

5

，x₁x₂=

16(b2-1)

5

，假設存在這樣的P點，設其坐標為（x₀，y₀），求得直線PA、PE的斜率之積，利用直線PA、PE的斜率之積為定值，可求P點的坐標．

解答：解：（1）∵P（1，

3

2

）是

x2

a2

+y2=1上的點，
∴

1

a2

+

3

4

=1，∴a²=4
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1
將直線方程代入橢圓方程，消去y可得5x²+8bx+16（b²-1）=0①，則△＞0
即64b²-4×5×16（b²-1）＞0，∴-

5

2

＜b＜

5

2

∵點P不在直線l上，∴b≠

3

2

-

1

4

∵b≠0，∴b的取值范圍為（-

5

2

，0)∪(0，

3

2

-

1

4

)∪(

3

2

-

1

4

，

5

2

∪(0，

3

2

-

1

4

)∪（

3

2

-

1

4

，

5

2

）；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①知，x₁+x₂=-

8b

5

，x₁x₂=

16(b2-1)

5

假設存在這樣的P點，設其坐標為（x₀，y₀），則
直線PA、PE的斜率之積為

4 5 b2- 8y0 5 b+y02- 1 5

16b2 5 + 8x0 5 b+x02- 16 5

要使直線PA、PE的斜率之積為定值，則必有

- 8y0 5 = 1 4 × 8x0 5 y02- 1 5 = 1 4 (x02- 16 5 )

∴P的坐標為（

4 5

5

，-

5

5

）或（-

4 5

5

，

5

5

）
故存在P點，坐標為（

4 5

5

，-

5

5

）或（-

4 5

5

，

5

5

），使直線PA、PE的斜率之積為定值

1

4

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，有一定的難度．