Question

已知點B_n（n，y_n），…（n∈N₊）是某直線l上的點，以B_n為圓心作圓．所作的圓與x軸交于A_n和A_n+1兩點，記A_n、A_n+1的橫坐標分別為x_n、x_n+1．其中x₁=a（0＜a≤1）
（1）證明：x_n+2-x_n是常數，并求數列{x_n}的通項公式；
（2）若l的方程為y=

1

4

x+

1

12

，試問在△AnBnAn+1(n∈N+)中是否存在直角三角形，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據△A_nB_nA_n+1構成以B_n（n，y_n）這頂點的等腰三角形，可得

xn+xn+1

2

=n，然后利用遞推關系可得x_n+2-x_n是常數，最后討論n的奇偶，可求出數列{x_n}的通項公式；
（2）先分別求出|A_nA_n+1|與|B_nC_n|，要使△A_nB_nA_n+1為直角三角形當且僅當|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|，然后建立方程解之即可．

解答：解：（1）因△A_nB_nA_n+1構成以B_n（n，y_n）這頂點的等腰三角形，
∴

xn+xn+1

2

=n即x_n+x_n+1=2n（n∈N₊）（1）
從而x_n+1+x_n+2=2（n+1）（2）
由（2）-（1）得，x_n+2-x_n=2，為常數．
顯然x₁，x₃，x₅，…x_2n-1，…及x₂，x₄，x₆，…x_2n，…分別成等差數列．
∴x_2n-1=x₁+（n-1）×2=（2n-1）+a-1，x_2n=x₂+2（n-1）=（2-a）+2n-2，（n∈N₊）
∴xn=

n+a-1， n為奇數 n-a，      n為偶數

（2）當n為奇數時，A_n（n+a-1，0），A_n+1（n+1-a，0），∴|A_nA_n+1|=2（1-a）
當n為偶數時，A_n（n-a，0），A_n+1（n+a，0），∴|A_nA_n+1|=2a．
作B_nC_n⊥x軸于C_n，由于點B_n（n，y_n）在直線l上，
∴yn=

1

4

n+

1

12

即|BnCn|=

1

4

n+

1

12

．
要使△A_nB_nA_n+1為直角三角形當且僅當|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|，
∴當n為奇數時，有2(1-a)=2(

1

4

n+

1

12

)，即12a=11-3n，（※）
當n=1時，a=

2

3

，當n=3時，a=

1

6

，當n≥5時，方程（※）無解．
當n為偶數時，有12a=3n+1，同時可得a=

7

12

．
綜上所述，當a=

2

3

或a=

1

6

或a=

7

12

，存在直角三角形．

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式，以及直角三角形的判定，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．