Question

給出下列四個函數①f（x）=x²+1； ②f（x）=lnx；③f（x）=e^-x；④f（x）=sinx．其中滿足：“對任意x₁，x₂∈（1，2）（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|總成立”的是

 

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Answer 1

分析：設過（x₁，y₁），（x₂，y₂）的直線的斜率為k，由題意可得|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|?|k|＜1，根據各函數在（1，2）的圖象上任意兩點的連線的斜率的絕對值的范圍進行判斷．

解答：解：設過（x₁，y₁），（x₂，y₂）的直線的斜率為k，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|?|k|＜1
①f（x）=x²+1，對任意x₁，x₂∈（1，2）（x₁≠x₂），2＜k＜4不符合條件，故①錯誤
②f（x）=lnx，對任意x₁，x₂∈（1，2）（x₁≠x₂），

1

2

＜k＜1，故②正確
③f（x）=e^-x，任意x₁，x₂∈（1，2）（x₁≠x₂），

1

e2

＜|k|＜

1

e

＜1，③正確
④f（x）=sinx．對任意x₁，x₂∈（1，2）（x₁≠x₂），|cos2|＜|k|＜cos1＜1，④正確
故答案為：②③③④

點評：解決本題的關鍵是|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|?|k|＜1的轉化，而斜率的求解可以考慮跟導數相聯系，體現了轉化思想在解題中的應用．