Question

已知f（x）的定義域為{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函數，當x＞0時f（x）=-x²+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2．
（1）求b，c的值；及f（x）在x＞0時的表達式；
（2）求f（x）在x＜0時的表達式；
（3）若關于x的方程f（x）=ax（a∈R）有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=f（3）可知圖象對稱軸為x=2，由此可求b，再由f（2）=2，可求c，從而求b，c的值；
（2）當x＜0時，-x＞0，由已知表達式可求f（-x），再由奇函數的性質可求f（x）；
（3）由奇函數性質，只需程f（x）=ax在（0，+∞）上有解即可，分離參數后可求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（1）=f（3），∴函數圖象的對稱軸x=

b

2

=2，得b=4，
又∵f（2）=-4+4×2+c=2，∴c=-2，
當x＞0時，f（x）=-x²+4x-2．
（2）由（1）得，當x＞0時f（x）=-x²+4x-2，
當x＜0時，-x＞0，f（-x）=-（-x）²+4（-x）-2=-x²-4x-2，
∵f（x）是奇函數，
∴當x＜0時，f（x）=-f（-x）=x²+4x+2．
（3）由題意，只需-x²+4x-2=ax在（0，+∞）上有解，∴a=-x-

2

x

+4≤-2

2

+4，
即a的取值范圍是（-∞，-2

2

+4]．

點評：本題考查函數的解析式的求解及方程解的存在問題，考查分離參數法求參數的范圍．