Question

已知向量

m

=（

3

sin2x-1，cosx），n=（

1

2

，cosx），設函數f（x）=

m

•

n

．
（1）求函數f（x）的最小正周期及在[0，

π

2

]上的最大值；
（2）已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A、B為銳角，f（A+

π

6

）=

3

5

，f（

B

2

-

π

12

）=

10

10

，又a+b=

2

+1，求a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的數量積的運算法則即可得到f（x）的解析式，再利用二倍角的余弦函數公式及兩角和的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由x的范圍求出這個角的范圍，根據正弦函數的值域即可得到f（x）的值域，進而得到f（x）的最大值；
（2）由f(A+

π

6

)=

3

5

，代入f（x）并利用誘導公式化簡后，即可得到cos2A的值，然后利用二倍角的余弦函數公式即可求出sinA的值，由A為銳角，利用同角三角函數間的基本關系即可求出cosA的值，又f(

B

2

-

π

12

)=

10

10

，代入f（x）化簡后即可求出sinB的值，由B的范圍，利用同角三角函數間的基本關系即可求出cosB的值，由正弦定理，根據求出的sinA和sinB的值即可得到a與b的關系式，由a與b的和即可求出a與b的值，然后由sinA，cosA，sinB及cosB的值，根據誘導公式及兩角和的正弦函數公式即可求出sinC的值，由b，sinB，sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答：解：（1）f(x)=

m

• 

n

=

3

2

sin2x-

1

2

+cos2x=sin(2x+

π

6

)，（3分）
∴T=

2π

2

=π，
由0≤x≤

π

2

得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴f（x）_max=1；（16分）
（2）∵f(A+

π

6

)=

3

5

，
∴cos2A=

3

5

⇒sin2A=

1-cos2 A

2

=

1

5

，
∵A為銳角，∴sinA=

5

5

，cosA=

2 5

5

（7分）
又f(

B

2

-

π

12

)=

10

10

⇒sinB=

10

10

，
∵B為銳角，∴cosB=

3 10

10

，（8分）
由正弦定理知

a

b

=

sinA

sinB

=

2

⇒a=

2

b
又a+b=

2

+1⇒a=

2

，b=1（10分）
又∵sinC=sin（A+B）=sinA•cosB+cosA•sinB=

5

5

•

3 10

10

+

2 5

5

•

10

10

=

2

2

，
由

c

sinC

=

b

sinB

⇒c=

b•sinC

sinB

=

2

2

×

10

=

5

（12分）

點評：此題考查學生掌握平面向量的數量積的運算法則及正弦函數的值域，靈活運用兩角和與差的正弦函數公式及正弦定理化簡求值，靈活運用二倍角的余弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，是一道中檔題．