Question

（2007•閔行區一模）（理）已知△ABC頂點的直角坐標分別為A（a，4）、B（0，b）、C（c，0）．
（1）若a=3，b=0，c=5，求sinA的值；
（2）若虛數x=2+ai（a＞0）是實系數方程x²-cx+5=0的根，且∠A是鈍角，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積的定義求出cosA的值，再利用同角三角函數的基本關系求出sinA的值．
（2）由題意可得，虛數x=2-ai也是實系數方程x²-cx+5=0的根，由韋達定理得求得a和c的值，由

AB

 •

AC

＜0求出
b的取值范圍，再從中除去

AB

、

AC

共線時的b值．

解答：解：（1）∵

AB

=(-3， -4)，

AC

=(2， -4)，（2分）
cosA=

AB • AC

| AB || AC |

=

-6+16

5•2 5

=

1

5

，且0＜A＜π，（4分）
∴sinA=

1-cos2A

=

1- 1 5

=

2 5

5

．（6分）
（2）由題意可得，虛數x=2-ai也是實系數方程x²-cx+5=0的根，
由韋達定理得求得 a=1，c=4．（8分）
∴

AB

=(-1， b-4)，

AC

=(3， -4)，（10分）
∵∠A是鈍角，由

AB

•

AC

=-3-4b+16＜0，解得 b＞

13

4

．（12分）
又

AB

、

AC

共線時，b=

16

3

．
故b的取值范圍為 {b|b＞

13

4

且b≠

16

3

}．（14分）

點評：本題考查兩個向量的數量積的定義，同角三角函數的基本關系，注意排除當

AB

、

AC

共線時的情況，這是解題的易錯點．