如圖所示，離心率為
的橢圓
上的點到其左焦點的距離的最大值為3，過橢圓
內一點
的兩條直線分別與橢圓交于點
、
和
、
，且滿足
，其中
為常數，過點作
的平行線交橢圓于
、
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若點
，求直線
的方程，并證明點平分線段.
（1）
；（2）詳見解析．
解析試題分析：（1）由題得
，
，聯立
解這個方程組即得.（2）首先求出直線MN的方程.由于MN過點P（1，1），故只要求出MN的斜率即可.又由于MN平行AB，故先求出直線AB的斜率.設
，則
.由
可得點C的坐標，由
可得點D的坐標，將A、B、C、D的坐標代入橢圓方程得四個等式，利用這四個等式可整體求出，然后求出直線MN的方程，與橢圓方程聯立可求得MN的中點坐標即為點P的坐標，從而問題得證 .
（1）由題得，，聯立 解得
，
，
，
∴橢圓方程為 4分
（2）方法一：設，由可得
.
∵點在橢圓上，故
整理得：
6分
又點在橢圓上可知
，
故有
①
由，同理可得：
②
②-①得：
，即
9分
又∥，故
∴直線的方程為：
，即
.
由
可得：
∴是的中點，即點平分線段 12分
（2）方法二：∵，，∴
，即
在梯形
中，設中點為
，
中點為
，
過作的平行線交
于點
∵
與
面積相等，∴
∴，，三點共線 6分
設
，
∴
，
，
兩式相減得 
，
智趣寒假作業云南科技出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設
分別是橢圓
的 左，右焦點。
（1）若P是該橢圓上一個動點，求
的 最大值和最小值。
（2）設過定點M(0,2)的 直線l與橢圓交于不同的兩點A、B,且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l斜率k的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C1：
的左焦點為F1（-1,0），且點P（0,1）在C1上。
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：
相切，求直線l的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
的離心率為
，
軸被曲線
截得的線段長等于
的長半軸長。
（1）求，
的方程；
（2）設與
軸的交點為M，過坐標原點O的直線
與相交于點A,B,直線MA,MB分別與相交與D,E.
①證明：
；
②記△MAB,△MDE的面積分別是
.問：是否存在直線,使得
=
?請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
給定橢圓
．稱圓心在原點O，半徑為
的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為
，其短軸上的一個端點到F的距離為
．
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程；
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線
，使得
與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在
軸上，有一個頂點為
，
．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
作直線
與橢圓交于
兩點，線段
的中點為
,求直線
的斜率
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設
，過點
作直線
(不與
軸重合)交橢圓于
、
兩點，連結
、
分別交直線
于
、
兩點，試探究直線
、
的斜率之積是否為定值，若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線C：
，點A、B在拋物線C上.
（1）若直線AB過點M（2p，0），且
=4p，求過A，B，O（O為坐標原點）三點的圓的方程；
（2）設直線OA、OB的傾斜角分別為
，且
，問直線AB是否會過某一定點？若是，求出這一定點的坐標，若不是，請說明理由.
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的最小值及此時P點的坐標．