Question

已知偶函數滿足：當時，，當時，.
(1)求當時，的表達式；
(2)試討論：當實數滿足什么條件時，函數有4個零點，且這4個零點從小到大依次構成等差數列.

Answer 1

（1）；（2）①時，；②時，；③時，.

試題分析：本題考查函數的奇偶性、函數解析式、函數零點問題以及等差數列的定義，考查化歸與轉化思想，考查計算能力.第一問，先把轉化成，利用已知時的解析式，利用偶函數轉化解析式；第二問，把有4個零點，先轉化為與有4個交點且均勻分布，所以利用等差中項，偶函數等基礎知識列出表達式，分情況進行討論分析.
試題解析：（1）設則，，
又偶函數，
所以，.
（2）零點，與交點有4個且均勻分布，
（Ⅰ）時，    得，
所以時，， 
（Ⅱ）且時 ，， ，
所以 時，，
（Ⅲ）時時，符合題意，
（Ⅳ）時，，，，，
此時，，所以或（舍）
且時，時存在.
綜上，①時，；
②時，；
③時，符合題意.