Question

（2001•江西）如圖，以正四棱錐V-ABCD底面中心O為坐標原點建立空間直角坐標系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB．E為VC中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為h．
（Ⅰ）求cos＜

BE

，

DE

＞；
（Ⅱ）記面BCV為α，面DCV為β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求∠BED．

Answer 1

分析：（I）確定向量的坐標，利用向量的夾角公式，即可求cos＜

BE

，

DE

＞；
（Ⅱ）確定h=

2

a，結合（I）的結論，即可求∠BED．

解答：解：（I）由題意知B（a，a，0），C（-a，a，0），D（-a，-a，0），E(-

a

2

，

a

2

，

h

2

)，
由此得

BE

=(-

3a

2

，-

a

2

，

h

2

)，

DE

=(

a

2

，

3a

2

，

h

2

)，
∴

BE

•

DE

=(-

3a

2

•

a

2

)+(-

a

2

•

3a

2

)+

h

2

•

h

2

=-

3a2

2

+

h2

4

，|

BE

|=|

DE

|=

(- 3a 2 )2+(- a 2 )2+( h 2 )2

=

1

2

10a2+h2

．
由向量的數量積公式有cos＜

BE

，

DE

＞=

BE • DE

| BE |•| DE |

=

- 3a2 2 + h2 4

1 2 10a2+h2 • 1 2 10a2+h2

=

-6a2+h2

10a2+h2

．
（II）若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，則

BE

⊥

CV

，即有

BE

•

CV

=0．
又由C（-a，a，0），V（0，0，h），有

CV

=(a，-a，h)且

BE

=(-

3a

2

，-

a

2

，

h

2

)，
∴

BE

•

CV

=-

3a2

2

+

a2

2

+

h2

2

=0，即h=

2

a，
這時有cos＜

BE

，

DE

＞=

-6a2+h2

10a2+h2

=

-6a2+( 2 a)2

10a2+( 2 a)2

=-

1

3

．
∴∠BED=＜

BE

，

DE

＞=arccos(-

1

3

)=π-arccos

1

3

．

點評：本小題主要考查空間直角坐標的概念、空間點和向量的坐標表示以及兩個向量夾角的計算方法，考查運用向量研究空間圖形的數學思想方法．