Question

（2007•奉賢區一模）已知關于x的不等式x²-4x-m＜0的非空解集為{x|n＜x＜5}
（1）求實數m和n的值
（2）求不等式log_a（-nx²+3x+2-m）＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）由題意得：n和5是方程x²-4x-m=0的兩個根結合根與系數的關系即可求得實數m和n的值；
（2）首先對a進行分類討論：1°當a＞1時，函數y=log_ax在定義域內單調遞增；2°當0＜a＜1時，函數 y=log_ax在定義域內單調遞減，分別求得它們的解集，最后綜合得出：當a＞1時原不等式的解集為：（-∞，-4）∪（1，+∞），當0＜a＜1時原不等式的解集為：（-4

-3- 21

2

）∪

-3+ 21

2

，1）．

解答：解：（1）由題意得：n和5是方程x²-4x-m=0的兩個根（2分）
  

n+5=4 5n=-m

 （3分）

n=-1 m=5

（1分）
（2）1°當a＞1時，函數y=log_ax在定義域內單調遞增
由log_a（-nx²+3x+2-m）＞0
得x²+3x-3＞1（2分）
即 x²+3x-4＞0
x＞1 或  x＜-4（1分）
2°當0＜a＜1時，函數 y=log_ax在定義域內單調遞減
由：log_a（-nx²+3x+2-m）＞0
得：

x 2+3x-3＜1 x 2+3x-3＞0

 （2分）
即

-4＜x＜1 x＜ -3- 21 2 或x＞ -3+ 21 2

（1分）
-4＜

-3- 21

2

 或  

-3+ 21

2

＜x＜1（1分）
∴當a＞1時原不等式的解集為：（-∞，-4）∪（1，+∞），
當0＜a＜1時原不等式的解集為：（-4

-3- 21

2

）∪

-3+ 21

2

，1）（1分）

點評：本小題主要考查對數函數的單調性與特殊點、一元二次不等式的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．