Question

（2007•奉賢區一模）若虛數z滿足z+

1

z

∈R，則|z-2i|的取值范圍是

[1，

5

)∪(

5

，3]

．

Answer 1

分析：設Z=a+bi（a，b∈R），由虛數z滿足z+

1

z

∈R，易得a²+b²=1（b≠0），則|z-2i|=

a2+(b-2)2

（b≠0），分析a²+b²=1（b≠0）及

a2+(b-2)2

（b≠0）的幾何意義，即可得到答案．

解答：解：設Z=a+bi（a，b∈R）
由Z為虛數，故b≠0
則z+

1

z

=a+bi+

a-bi

a2+b2

，
若z+

1

z

∈R，則b-

b

a2+b2

=0
則a²+b²=1（b≠0）
又∵|z-2i|=|a+（b-2）i|=

a2+(b-2)2

（b≠0）
故|z-2i|∈[1，

5

)∪(

5

，3]
故答案為：[1，

5

)∪(

5

，3]

點評：本題考查的知識點是復數求模，其中根據已知條件求出a²+b²=1（b≠0），是解答本題的關鍵，解答中易忽略Z為虛數，從而缺少b≠0的限制，而錯解為[1，3]．