Question

已知函數f（x）=ax²-lnx．（a∈R）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）已知曲線y=f（x）與直線y=x相切，求a．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數f'（x），討論a的正負，在函數的定義域內解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數f（x）的單調區間；
（2）設切點，求出切線斜率，利用切點在直線上，代入方程，結合方程解的情況討論，即可得到結論．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

，
令g（x）=2ax²-1，x∈（0，+∞）
（i）當a≤0時，g（x）＜0，此時f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上為減函數；
（ii）當a＞0時，方程2ax²-1=0有兩根x₁=

1 2a

，x₂=-

1 2a

，
且x₁＞0，x₂＜0，此時當x∈（0，

1 2a

）時，f'（x）＜0，
當x∈（

1 2a

，+∞）時，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，

1 2a

）為減函數，在（

1 2a

，+∞）為增函數；
所以當a≤0時，函數f（x）的遞減區間為（0，+∞），
當a＞0時，函數f（x）的遞增區間為（

1 2a

，+∞），遞減區間為（0，

1 2a

）．
（2）設切點為M（t，t），t＞0．
則f'（t）=1，且at²-lnt=t，∴t-1+2lnt=0，（*）
由于1-1+2ln1=0，∴方程（*）有解t=1，
令g（t）=t-1+2lnt，
∵g'（t）=1+

2

t

＞0，g（t）在（0，+∞）上是增函數，
∴方程（*）有唯一解t=1，
∴a×1²=1+ln1，
∴a=1．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性等基礎知識，熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．