Question

在數1和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積記作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：tan(k+1)•tank=

tan(k+1)-tank

tan1

-1，k∈N*．
（Ⅲ）設b_n=tana_n•tana_n+1，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等比數列的性質，序號的和相等，則項的乘積也相等知T_n=100

n+2

2

，結合a_n=lgT_n，（n≥1），即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用差角的正切公式，即可證得結論；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結論，累加，即可求數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：（Ⅰ）解：由題意，數1和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積記作T_n，
由等比數列的性質，序號的和相等，則項的乘積也相等知T_n=100

n+2

2

，
又a_n=lgT_n，（n≥1），
∴a_n=lgT_n=lg100

n+2

2

=lg10ⁿ⁺²=n+2；
（Ⅱ）證明：tan1=tan[（k+1）-k]=

tan(k+1)-tank

1-tan(k+1)tank

∴tan(k+1)•tank=

tan(k+1)-tank

tan1

-1，k∈N*
（Ⅲ）解：b_n=tana_n•tana_n+1=tan（n+2）tan（n+3）=

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-1
∴數列{b_n}的前n項和S_n=

tan(1+3)-tan(1+2)

tan1

+

tan(2+3)-tan(2+2)

tan1

+…+

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-n
=

tan(n+3)-tan3

tan1

-n

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，解題的關鍵是熟練掌握等差數列與等比數列的性質，再結合對數的運用性質得出求出數列{a_n}的通項公式，本題考查了綜合利用知識轉化變形的能力