Question

已知

m

=(2cosωx，

3

sinωx)，

n

=(cosωx，2cosωx)，（ω＞0），f（x）=

m

•

n

-1，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若在△ABC中，AC=2，BC=2

3

，f（

A

2

）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：利用向量的數量積，通過二倍角公式與兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，
（1）直接利用周期公式求出函數的周期，得到函數的解析式．
（2）利用f（

A

2

）=1，求出A的值，結合AC=2，BC=2

3

，利用余弦定理求出c，然后求解三角形的面積．

解答：解：已知

m

=(2cosωx，

3

sinωx)，

n

=(cosωx，2cosωx)，（ω＞0），
f（x）=

m

•

n

-1=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx-1
=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

），x∈R．
（1）因為函數f（x）的最小正周期為π．所以T=

2π

ω

=π，ω=2，
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

），x∈R．
（2）因為f（

A

2

）=2sin（2×

A

2

+

π

6

）=1，A∈（0，π）．
所以sin（A+

π

6

）=

1

2

，

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

所以A+

π

6

=

5π

6

A=

2π

3

．
設a，b，c為△ABC對應三邊，則b=2，a=2

3

，A=

2π

3

，因為a²=b²+c²-2bccosA，
即：c²+2c-8=0（c＞0），解得c=2，
所以三角形的面積為S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

．

點評：本題考查解答三角形的問題，三角函數的解析式的求法，兩角和的正弦函數的應用，余弦定理以及三角形的面積的求法．