Question

【題目】如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在上移動(dòng)，點(diǎn)在上移動(dòng)，，連接.

（1）證明：對(duì)任意，總有平面；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)度最小？

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，連接,根據(jù)平行線成比例定理，結(jié)合已知，可以證明出四邊形為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)，線面平行的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)平行線成比例定理，通過(guò)計(jì)算可以求出的值，利用勾股定理求出的表達(dá)式，運(yùn)用配方法求出的長(zhǎng)度最小值.

（1）證明：如圖，作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>是正方形，所以有，因此有，因?yàn)?/span>，所以，同理可證明，因此，則四邊形為平行四邊形，.又平面，平面，

平面.

（2）由（1）知四邊形為平行四邊形，.

，

，

即，

故當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度有最小值，最小值為.