Question

【題目】四棱錐中，底面為平行四邊形，側面 ，分別是的中點，已知，，，.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）證明見解析；(III) .

【解析】

（I）取中點，連結，可證明平面，平面，可得平面平面，由面面平行的性質可得結果；（II）作，垂足為，連結，由面面垂直的性質可得，由等腰直角三角形的性質可得，可得平面，從而可得結果；(III)求出 ，的面積，的面積，設到平面的距離為，由， 可得，進而可得結果.

（I）取中點，連結，

分別是的中點，底面平行四邊形，

，

因為平面平面,

平面平面,

平面，平面，

又因為

平面平面，

平面，

平面；

（II）作，垂足為，連結，

側面底面，

底面，所以，

，

又，故為等腰直角三角形，.

平面，，即.

(III)由（II）可知，故，由，可得，

的面積，

連接，得的面積，

設到平面的距離為，

由，得，解得，

設與平面成的角為，

則，直線與平面成的角的正弦值為.