Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點，，為的中點．

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）法一、取中點，連接，，由三角形的中位線定理可得，且，再由已知得，且，得到，且，說明四邊形為平行四邊形，可得，由線面平行的判定得到平面；

法二、證明平面，轉化為證明平面平面，在中，過作，垂足為，連接，由已知底面，可得，通過求解直角三角形得到，由面面平行的判定可得平面平面，則結論得證；

（2）連接，證得，進一步得到平面平面，在平面內，過作，交于，連接，則為直線與平面所成角．然后求解直角三角形可得直線與平面所成角的正弦值．

（1）證明：法一、如圖，取中點，連接，，

為的中點，

，且，

又，，且，

，且，

則，且，

四邊形為平行四邊形，則，

平面，平面，

平面；

法二、

在中，過作，垂足為，連接，

在中，由已知，，得，

，

，則，

在中，

， ，

由余弦定理得：，

，

而在中， ，

，即，

，則平面．

由底面，得，又，

，則平面．

，

平面平面，則MN∥平面；

（2）解：在中，由，，，得

．

，則，

底面，平面，

平面平面，且平面平面，

平面，則平面平面．

在平面內，過作，交于，連接，則為直線與平面所成角．

在中，由是的中點，得

，

在中，由，得，

．

直線與平面所成角的正弦值為．