Question

（A）（不等式選講）不等式log₃（|x-4|+|x+5|）＞a對于一切x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是

 

；
（B） （幾何證明選講）如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC內接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，則正方形DEFC的邊長等于

 

；
（C） （極坐標系與參數方程）曲線ρ=2sinθ與ρ=2cosθ相交于A，B兩點，則直線AB的方程為

 

．

Answer 1

分析：（A） 由（|x-4|+|x+5|） 的意義可得最小值等于9，log₃（|x-4|+|x+5|）≥2．
（B）設 正方形DEFC的邊長等于 b，由Rt△AEF∽Rt△ABC得到對應線段成比列，求出b值．
（C）把曲線 方程化為直角坐標方程，相減即得公共弦所在的直線方程．

解答：解：（A） （|x-4|+|x+5|） 表示數軸上的 x到-5和4的距離之和，其最小值等于9，故log₃（|x-4|+|x+5|）≥2，
故當a＜2時，不等式log₃（|x-4|+|x+5|）＞a對于一切x∈R恒成立，
實數a的取值范圍是a＜2．
（B）設 正方形DEFC的邊長等于  b，由Rt△AEF∽Rt△ABC得

1-b

1

= 

b

2

，∴b=

2

3

．
（C）曲線ρ=2sinθ，即 ρ²=2ρsinθ，即 x²+y²-2y=0   ①，
ρ=2cosθ  即 ρ²=2ρcosθ，即 x²+y²-2x=0   ②，
把兩曲線的方程  ①、②相減得直線AB的方程  2x-2y=0，即  x-y=0．
故答案為：A：a＜2；B：

2

3

；C：x-y=0．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，把極坐標方程化為普通方程的方法，利用絕對值得意義是解題的難點．