Question

【題目】某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛生防疫工作的相關要求，決定在全公司范圍內舉行一次乙肝普查.為此需要抽驗960人的血樣進行化驗，由于人數較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.

方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗960次.

方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結果呈陰性，這個人的血就只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗一次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗.這樣，該組個人的血總共需要化驗次.

假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立.

（1）設方案②中，某組個人中每個人的血化驗次數為，求的分布列；

（2）設.試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數最多可以平均減少多少次？（最后結果四舍五入保留整數）.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）390次

【解析】

（1）根據概率性質可知若每個人的血樣化驗呈陽性的概率為,則每個人的血呈陰性反應的概率為.由獨立性事件概率性質可得個人的血混合后呈陰性反應和呈陽性反應的概率.即可由血化驗次數為得其分布列.

（2）結合（1）可求得平均每個人化驗次數.當時,.將分別取2,3,4,代入平均化驗次數的表達式,即可求得化驗次數.根據結果,即可求得相比方案①,化驗次數最多平均減少的次數.

（1）設每個人的血呈陰性反應的概率為,則.

所以個人的血混合后呈陰性反應的概率為,呈陽性反應的概率為.

依題意可知,所以的分布列為：

P

（2）方案②中.

結合（1）知每個人的平均化驗次數為：

,

所以當時,,此時960人需要化驗的總次數為662次,

時,,此時960人需要化驗的總次數為580次,

時,,此時960人需要化驗的次數總為570次,

即時化驗次數最多,時次數居中,時化驗次數最少

而采用方案①則需化驗960次,

故在這三種分組情況下,相比方案①,當時化驗次數最多可以平均減少次.