Question

已知f(x)≥

x

2+x2

（1）令g（x）=

x

2+x2

，求證：g（x）是其定義域上的增函數；
（2）設f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N₊），f₁（x）=f（x），用數學歸納法證明：fn(x)≥

x

2n+(2n-1)x2

（n∈N₊，n≥2）

Answer 1

分析：（1）求導數，證明其大于0即可；
（2）先證明n=2時，結論成立，再假設n=k（k∈N₊，k≥2）不等式成立，n=k+1時，利用f_k+1（x）=f[f_k（x）]即可證明．

解答：證明：（1）函數g（x）的定義域為R，
∵g′(x)=

2

(2+x2) 2+x2

＞0，
∴g（x）是其定義域R上的增函數．
（2）①n=2時，f₂（x）=f[f₁（x）]=f[f（x）]，由已知條件可得f[f(x)]≥

f(x)

2+[f(x)]2

再由（1）知g（x）是增函數，∴

f(x)

2+[f(x)]2

≥

x 2+x2

2+ x2 2+x2

=

x

4+3x2

即n=2時，不等式成立．
②假設n=k（k∈N₊，k≥2）不等式成立，即fk(x)≥

x

2k+(2k-1)x2

，
則n=k+1時，f_k+1（x）=f[f_k（x）]≥

fk(x)

2+[fk(x)]2

≥

x 2k+(2k-1)x2

2+ x2 2k+(2k-1)x2

=

x

2k+1+(2k+1-1)x2

，
即n=k+1時，不等式成立
綜合①②知（n∈N₊，n≥2）時，不等式成立．

點評：本題考查導數知識的運用，考查數學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．