Question

已知，，且直線與曲線相切．

（1）若對內的一切實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（2）（ⅰ）當時，求最大的正整數，使得任意個實數（是自然對數的底數）都有成立；

（ⅱ）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）（ⅰ）13；（ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由直線與曲線相切可以求出中的參數.再由對內的一切實數，不等式恒成立，即在上恒成立，然后構造函數，研究其導函數以確定其單調性，從而得到其最小值1.又，所以實數的取值范圍是；（2）（ⅰ）先通過導函數確定在上是增函數，從而得到在上的最大值.由題意，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值.經計算知時不等式右邊取得最小值，然后代入不等式，解得．因此，的最大值為；（ⅱ）根據（1）的推導時，，從而，再通過令代入化簡即可得證.

試題解析：（1）設點為直線與曲線的切點，則有

．      （*）

，．   （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．    1分

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．    2分

設，，

，當時，，則是增函數，

，是增函數，，．

因此，實數的取值范圍是．     4分

（2）（ⅰ）當時，，

，在上是增函數，在上的最大值為．

要對內的任意個實數都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．

，解得．因此，的最大值為．  8分

（ⅱ）證明：當時，根據（1）的推導有，時，，

即．令，得，

化簡得，

．  13分

考點：1.用導數研究函數的單調性；2.函數的單調性與最值；3.不等式.