Question

（本小題滿分16分）

已知，，且直線與曲線相切．

（1）若對內的一切實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（2）當時，求最大的正整數，使得對（是自然對數的底數）內的任意個實數都有成立；

（3）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）設點為直線與曲線的切點，則有

．     （*）

，． （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．   

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．

設，，

，當時，，則是增函數，

，是增函數，，．

因此，實數的取值范圍是．

（2）當時，

，在上是增函數，在上的最大值為．

要對內的任意個實數都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．

，解得．因此，的最大值為． 

（3）證明：當時，得出． 令，   

化簡得，

得出．

【解析】

試題分析：（1）設點為直線與曲線的切點，則有

．     （*）

，． （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．   

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．

設，，

，當時，，則是增函數，

，是增函數，，．

因此，實數的取值范圍是．

（2）當時，

，在上是增函數，在上的最大值為．

要對內的任意個實數都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．

，解得．因此，的最大值為． 

（3）證明：當時，根據（1）的推導有，時，，

即． 令，得，   

化簡得， 

． 

考點：本題主要考查導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性及極值，證明不等式。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，像涉及恒成立問題，往往通過研究函數的最值達到解題目的。證明不等式問題，往往通過構造新函數，研究其單調性及最值，而達到目的。本題涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。